一元 二次方程 因式分解

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本文将教你如何因式分解二次多项式。一个多项式含有一个变量（x），x有特定的次数，多项式还有各种其他的变量和常数。要因式分解一个二次多项式成多个多项式因子相乘的形式，你的数学水平得达到代数I以上，否则不太容易理解本方法的原理。 本文中都用到的标准形式的二次多项式：ax2 + bx + c = 0

步骤

1. 

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   写下表达式。以次数高低排列，如果有最大公因数则提出来：6 + 6x2 + 13x，6x2 + 13x + 6

2. 

   2

   用以下方法之一，得出因式分解的结果：(2x + 3)(3x + 2)

3. 

   3

   用FOIL（首项相乘、外项相乘、内向相乘、次项相乘，这是展开多项式相乘的一种步骤方法）分解，并合并同类项：(2x + 3)(3x + 2)，6x2 + 4x + 9x + 6，6x2 + 13x + 6。

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若你的多项式十分简单，可以自己来发现因数。注意：用这个方法，可能不能因式分解更复杂的三项式了。 例子: 3x2 + 2x - 8

1. 

   1

   把a、c的因数写出来：a = 3 因数有: 1 和 3，c = -8 因数: 2 和 4 和 1 和 8

2. 

   2

   写两对括号，留点空白：( x )( x )

3. 

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   把a可能的一对因数写在x前：本例子中只有一对因数 (3x )(1x )

4. 

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   在x项后面分别写上成对的c的因数，先试试 (3x 8)(x 1)

5. 

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   决定x项和常数项的符号。以下是方法：如果ax2 + bx + c 则 (x + h)(x + k)，如果 ax2 - bx - c 或 ax2 + bx - c 则 (x - h)(x + k)。如果 ax2 - bx + c 则 (x - h)(x - k)。本例子中是 3x2 + 2x - 8 ，因此 (x - h)(x + k)是答案的形式，然后试试： (3x + 8)(x - 1)

6. 

   6

   把两个括号展开，如果中间项不对，则这种化简不对（c的因数选错了）。(3x + 8)(x - 1)，3x2 - 3x + 8x - 8，3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8

7. 

   7

   如果必要，则换掉因数。本例中我们试试2和4这对： (3x + 2)(x - 4)

   • c 现在是-8。
   • 但是外项和内项积分别是-12x 和 2x， 合并不成+2x。

8. 

   8

   如果必要的话就调转顺序。我们试试把2、4换个位置。 (3x + 4)(x - 2)

   • c 还是对的。
   • 外项积和内项积是-6x 和 4x， 则这两个数的和同2x正好符号相反

9. 

   9

   然后再确认一下符号正负。顺序是没错的，现在把符号倒过来： (3x - 4)(x + 2)

   • c 还是对的。
   • 外项积和内项积现在6x 和 -4x。 加起来等于2x ，这次就对了。

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不喜欢猜的方法， 可以试试这个。

例子: 6x2 + 13x + 6

1. 

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   把a、c乘起来，本例中是：6•6 = 36

2. 

   2

   找出一对数字，乘起来是36，加起来又是b（13）：4•9 = 36 4 + 9 = 13

3. 

   3

   把两个数字设为 k 和 h (顺序随意): ax2 + kx + hx + c，6x2 + 4x + 9x + 6

4. 

   4

   整理成组，因式分解。整理一下方程，使得可以提出最大公因式（(3x+2)），然后合并同类项，得到因式分解结果。6x2 + 4x + 9x + 6，2x(3x + 2) + 3(3x + 2)，(2x + 3)(3x + 2)

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本方法很像分解法，不过更简单 例子: 8x2 + 10x + 2

1. 

   1

   将a、c两项相乘。8•2 = 16

2. 

   2

   找出两个数字，相乘是16，相加又是b(10)。2•8 = 16 8 + 2 = 10

3. 

   3

   将两个数（ h 、 k）代入这个方程：(ax + h)(ax + k)---------------------- a(8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8（如图）

4. 

   4

   看看哪一个括号项可以被a整除，并且商是偶数。a {本例中为(8x + 8)}。用a除以这个数，让另一项保持原样(8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8，答案:(x + 1)(8x + 2)

5. 

   5

   如果两括号有最大公因式，提出来：(x + 1)(8x + 2)，2(x + 1)(4x + 1)

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1. 

   1

   如果需要，则提出最大公因数。27x2 - 12，3(9x2 - 4)

2. 

   2

   看看方程是否是两个平方之差。一定要有两项，否则不能平均分解这个方程。√(9x2) = 3x ， √(4) = 2 （注意这里省去了负数根。）

3. 

   3

   把“a”、“c”从你的等式中代入下列公式：(√(a) + √(c))(√(a) - √(c))3[(√(9x2) + √(4))(√(9x2) - √(4))]3[(3x + 2)(3x - 2)]

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上述方法都不行，则用二次公式 例如：x2 + 4x + 1

1. 

   1

   将对应量代入本方程：x = -b ± √(b2 - 4ac) --------------------- 2a，x = -4 ± √(42 - 4•1•1) ----------------------- 2•1（如图）

2. 

   2

   解出x。得到两个x，x= -4 ± √(16 - 4) ------------------ 2x = -4 ± √(12) -------------- 2x = -4 ± √(4•3) -------------- 2x = -4 ± 2√(3) -------------- 2x = -2 ± √(3)，x = -2 + √(3) 或 x = -2 - √(3)（如图）

3. 

   3

   把x值(h 、k) 代入方程 (x - h)(x - k)，(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3))，(x + 2 + √(3))(x + 2 - √(3))

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这些步骤适合TI图形计算器，在标准考试中尤其好用。

1. 

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   输入[Y = ] ：y = x2 − x − 2

2. 

   2

   按下 [GRAPH]作图。

3. 

   3

   找到和x 轴相交点得到(-1, 0), (2 , 0)，x = -1, x = 2

   • 如果看不到，则按下[2nd] -[TRACE]， 按下 [2] 或选择“0”。移到交点之左以后按下[ENTER]， 移到交点之右按下[ENTER]， 移到尽量接近和x轴相交的点旁边，按下 [ENTER]，计算器就会自动算出该点的横坐标。对另一个交点也重复此步骤。

4. 

   4

   把x值(h 和 k)代入本公式： (x - h)(x - k)，(x - (-1))(x - 2)，整理为(x + 1)(x + (-2)) 表示出两个交点来。

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利用箱型法（可视解）

小提示

• 若用二次公式因式分解了一个多项式，其中含有根数，可能需要将x换成分数来检查该解是否正确。
• 如果一个项没有系数，则系数是1。x2 = 1x2
• 如果有 TI-84 计算器 (可画图) ，则有一个叫做SOLVER的程序可以解二次方程，这个程序还可以解任何其他次数的多项式。
• 如果一个项不存在，则它的系数是0。有时把0项写出来会比较方便，比如x2 + 6 = x2 + 0x + 6
• 在熟悉试错法前，先把要试的因数写下来，熟练了以后再在脑子中运算。

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警告

• 如果你在数学课中学到了这个概念，要注意老师建议用什么方式，就尽量不要用你喜欢的别的方式。因为老师可能会让你在考试中用特定的一种方法来解，或者不让你用图画计算器来解。

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你需要准备

• 铅笔
• 纸
• 二次方程，或叫二次多项式
• 画图计算器（可选）