公因数怎么 算

最大公因數（英語：highest common factor，hcf）也稱最大公約數（英語：greatest common divisor，gcd）是數學詞彙，指能够整除多個整數的最大正整数。而多個整数不能都为零。例如8和12的最大公因数为4。

整数序列

求兩個整數最大公因數主要的方法：

• 列舉法：分別列出兩整數的所有因數，並找出最大的公因數。
• 質因數分解：分別列出兩數的質因數分解式，並計算共同項的乘積。
• 短除法：兩數除以其共同質因數，直到兩數互質時，所有除數的乘積即為最大公因數。

兩個整數的最大公因數和最小公倍數（lcm）的關係為：

兩個整數的最大公因數可用於計算兩數的最小公倍數，或分數化簡成最簡分數。

兩個整數的最大公因數和最小公倍數中存在分配律：

在直角坐標中，兩頂點為的線段會通過個格子點。

例子编辑

54和24的最大公因数是多少？

数字54可以表示為几组不同正整數的乘積：

故54的正因數為 。

同樣地，24可以表示為：

故24的正因數為 。

这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数：

其中的最大數6即為54和24的最大公因數，記為：

互质数编辑

如果两数的最大公因数为1，那么这两个数互質。例如，9和28就是互质数。

几何角度的说明编辑

24乘60的矩形被十个12乘12的正方形格子完全覆盖，即12为24和60的最大公因数。推而广之，如果c是a和b的最大公因数，那么a乘b的矩形就可以被若干个边长为c的正方形格子完全覆盖。

假设有一个大小为24乘60的矩形区域，这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格：1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此，12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域，可以按照12乘12的大小划分正方形网格，一边有两格（ ）、另一边有五格（ ）。

质因数分解法编辑

可以通过質因數分解来计算最大公因数。例如计算 ，可以先进行质因数分解   和  ，因为其中表达式 的「重合」，所以 。实践中，这种方法只在数字比较小时才可行，因为对较大数进行质因数分解通常会耗费大量的时间。

再举一个用文氏图表示的例子，计算48和180的最大公因数。首先对这两个数进行质因数分解：

它们之中的共同元素是两个2和一个3：

辗转相除法编辑

相比质因数分解法，辗转相除法的效率更高。

计算 时，先将48除以18得到商2、余数12，然后再将18除以12得到商1、余数6，再将12除以6得到商2、余数0，即得到最大公因数6。我们只关心每次除法的余数是否为0，为0即表示得到答案。这一算法更正式的描述是这样的：

其中

如果参数都大于0，那么该算法可以写成更简单的形式：

使用辗转相除法计算62和36的最大公因数2的演示动画。

• 任意a和b的公因数都是 的因數。
•  函数满足交换律： 。
•  函数满足结合律： 

以下使用輾轉相除法實現。

C#编辑

private int GCD(int a, int b) {
	if(0 != b) while(0 != (a %= b) && 0 != (b %= a));
	return a + b;
}

C++编辑

运行时计算实现：

template<typename T>
T GCD(T a, T b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

编译时计算实现：

#include <iostream>
#include <type_traits>

template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> b>
struct HCF{
public:
    static const T value=HCF<T, (a>b? b: a), (a>b? a%b: b%a)>::value;
};
template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a>
struct HCF<T, a, 0>{
public:
    static const T value=a;
};
int main(){
    std::wcout<<HCF<int, 12, 64>::value<<std::endl;//Output: 4
}

C编辑

int GCD(int a, int b) {
	if (b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

Java编辑

private int GCD(int a, int b) {
    if (b==0) return a; 
	return GCD(b, a % b);
}

JavaScript编辑

const GCD = (a, b) => b ? GCD(b, a % b) : a;

Python编辑

GCD = lambda a, b: (a if b == 0 else GCD(b, a % b))

# or

def GCD(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return GCD(b, a % b)

最大公約數又指一社會中不同陣營勉強所達之共同利益。

• 圖解最大公因數求法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 包含GCD動態規劃 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 公倍数
• 公约数
• 最小公倍数